7. TRANSFORMADA Z


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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

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plt.style.use('bmh') # estilo de las graficas
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Definici贸n

la transformada $Z$ es una transformaci贸n que representa una se帽al discreta $x[k]$ en el dominio espectral. Se basa en la funci贸n exponencial compleja $z^{-k}$ con $z \in \mathbb{C}$ como se帽al base.

Transformada Bilateral Z

$$ \large X(z) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] , z^{-k} $$

Transformada Unilateral Z

Para se帽ales causales tenemos: $$ \large \boxed{X(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} x[k] , z^{-k}} $$

Transformada Z inversa

$$ \large \boxed{x[k] = \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) , z^{k - 1} ; dz} $$

Regi贸n de Convergencia

La transformada Z converge si es absolutamente sumable

$$ \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] \cdot z^{- k} | = \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] | \cdot | z |^{- k} < \infty $$

Propiedades

$x[k]$ $X(z) = \mathcal{Z} { x[k] }$ Region de convergencia (ROC)
Linealidad $A , x_1[k] + B , x_2[k]$ $A , X_1(z) + B , X_2(z)$ $\supseteq \text{ROC}{x_1[k]} \cap \text{ROC}{x_2[k]}$
Conjugacion $x^*[k]$ $X^(z^)$ $\text{ROC}{ x[k] }$
Se帽ales Reales $x[k] = x^*[k]$ $X(z) = X^(z^)$
Convolucion Lineal $x[k] * h[k]$ $X(z) \cdot H(z)$ $\supseteq \text{ROC}{x[k]} \cap \text{ROC}{h[k]}$
Desplazamiento en el tiempo $x[k - \kappa]$ $z^{- \kappa} \cdot X(z)$ $\supseteq \text{ROC}{x[k]} \setminus {0, \infty }$
Modulacion $z_0^k \cdot x[k]$ $X\left( \frac{z}{z_0} \right)$ ${z: \frac{z}{z_0} \in \text{ROC} { x[k] } }$
Inversion $x[-k]$ $X \left( \frac{1}{z} \right)$ ${z: \frac{1}{z} \in \text{ROC} { x[k] } }$

Donde $A, B, z_0 \in \mathbb{C}$ y $\kappa \in \mathbb{Z}$

Tabla de Transformadas B谩sicas

$x[k]$ $X(z) = \mathcal{Z} { x[k] }$ ROC
$\delta[k]$ $1$ $\mathbb{C}$
$\epsilon[k]$ $\frac{z}{z-1}$ $
$k \epsilon[k]$ $\frac{z}{(z-1)^2}$ $
$z_0^{k} \epsilon[k]$ $\frac{z}{z - z_0}$ $
$-z_0^{k} \epsilon[-k-1]$ $\frac{z}{z - z_0}$ $
$\sin(\Omega_0 k) \epsilon[k]$ $\frac{z \sin(\Omega_0)}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$ $
$\cos(\Omega_0 k) \epsilon[k]$ $\frac{z ( z - \cos(\Omega_0))}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$ $

Donde $z_0 \in \mathbb{C}$, $\Omega_0 \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$.

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata