7. TRANSFORMADA Z

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Definición

la transformada $Z$ es una transformación que representa una señal discreta $x[k]$ en el dominio espectral. Se basa en la función exponencial compleja $z^{-k}$ con $z \in \mathbb{C}$ como señal base.

Transformada Bilateral Z

$$ \large X(z) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] , z^{-k} $$

Transformada Unilateral Z

Para señales causales tenemos: $$ \large \boxed{X(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} x[k] , z^{-k}} $$

Transformada Z inversa

$$ \large \boxed{x[k] = \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) , z^{k - 1} ; dz} $$

Región de Convergencia

La transformada Z converge si es absolutamente sumable

$$ \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] \cdot z^{- k} | = \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] | \cdot | z |^{- k} < \infty $$

Propiedades

$x[k]$$X(z) = \mathcal{Z} { x[k] }$Region de convergencia (ROC)
Linealidad$A , x_1[k] + B , x_2[k]$$A , X_1(z) + B , X_2(z)$$\supseteq \text{ROC}{x_1[k]} \cap \text{ROC}{x_2[k]}$
Conjugacion$x^*[k]$$X^(z^)$$\text{ROC}{ x[k] }$
Señales Reales$x[k] = x^*[k]$$X(z) = X^(z^)$
Convolucion Lineal$x[k] * h[k]$$X(z) \cdot H(z)$$\supseteq \text{ROC}{x[k]} \cap \text{ROC}{h[k]}$
Desplazamiento en el tiempo$x[k - \kappa]$$z^{- \kappa} \cdot X(z)$$\supseteq \text{ROC}{x[k]} \setminus {0, \infty }$
Modulacion$z_0^k \cdot x[k]$$X\left( \frac{z}{z_0} \right)$${z: \frac{z}{z_0} \in \text{ROC} { x[k] } }$
Inversion$x[-k]$$X \left( \frac{1}{z} \right)$${z: \frac{1}{z} \in \text{ROC} { x[k] } }$

Donde $A, B, z_0 \in \mathbb{C}$ y $\kappa \in \mathbb{Z}$

Tabla de Transformadas Básicas

$x[k]$$X(z) = \mathcal{Z} { x[k] }$ROC
$\delta[k]$$1$$\mathbb{C}$
$\epsilon[k]$$\frac{z}{z-1}$$
$k \epsilon[k]$$\frac{z}{(z-1)^2}$$
$z_0^{k} \epsilon[k]$$\frac{z}{z - z_0}$$
$-z_0^{k} \epsilon[-k-1]$$\frac{z}{z - z_0}$$
$\sin(\Omega_0 k) \epsilon[k]$$\frac{z \sin(\Omega_0)}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$$
$\cos(\Omega_0 k) \epsilon[k]$$\frac{z ( z - \cos(\Omega_0))}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$$

Donde $z_0 \in \mathbb{C}$, $\Omega_0 \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$.

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata