7. TRANSFORMADA Z

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import sympy as sym

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Definición

la transformada $Z$ es una transformación que representa una señal discreta $x [k]$ en el dominio espectral. Se basa en la función exponencial compleja $z^{- k}$ con $z \in C$ como señal base.

Transformada Bilateral Z

$X (z) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [k], z^{- k}$

Transformada Unilateral Z

Para señales causales tenemos: $X (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k], z^{- k}$

Transformada Z inversa

$x [k] = \frac{1}{2 π j} \oint_{C} X (z), z^{k - 1}; d z$

Región de Convergencia

La transformada Z converge si es absolutamente sumable

$\sum_{k = - \infty}^{\infty} | x [k] \cdot z^{- k} | = \sum_{k = - \infty}^{\infty} | x [k] | \cdot | z |^{- k} < \infty$

Propiedades

	$x [k]$	$X (z) = Z x [k]$	Region de convergencia (ROC)
Linealidad	$A, x_{1} [k] + B, x_{2} [k]$	$A, X_{1} (z) + B, X_{2} (z)$	$\supseteq ROC x_{1} [k] \cap ROC x_{2} [k]$
Conjugacion	$x^{*} [k]$	$X^(z^)$	$ROC x [k]$
Señales Reales	$x [k] = x^{*} [k]$	$X(z) = X^(z^)$
Convolucion Lineal	$x [k] * h [k]$	$X (z) \cdot H (z)$	$\supseteq ROC x [k] \cap ROC h [k]$
Desplazamiento en el tiempo	$x [k - κ]$	$z^{- κ} \cdot X (z)$	$\supseteq ROC x [k] ∖ 0, \infty$
Modulacion	$z_{0}^{k} \cdot x [k]$	$X (\frac{z}{z_{0}})$	$z : \frac{z}{z_{0}} \in ROC x [k]$
Inversion	$x [- k]$	$X (\frac{1}{z})$	$z : \frac{1}{z} \in ROC x [k]$

Donde $A, B, z_{0} \in C$ y $κ \in Z$

Tabla de Transformadas Básicas

$x [k]$	$X (z) = Z x [k]$	ROC
$δ [k]$	$1$	$C$
$ϵ [k]$	$\frac{z}{z - 1}$	$
$k ϵ [k]$	$\frac{z}{(z - 1)^{2}}$	$
$z_{0}^{k} ϵ [k]$	$\frac{z}{z - z_{0}}$	$
$- z_{0}^{k} ϵ [- k - 1]$	$\frac{z}{z - z_{0}}$	$
$\sin (Ω_{0} k) ϵ [k]$	$\frac{z \sin (Ω_{0})}{z^{2} - 2 z \cos (Ω_{0}) + 1}$	$
$\cos (Ω_{0} k) ϵ [k]$	$\frac{z (z - \cos (Ω_{0}))}{z^{2} - 2 z \cos (Ω_{0}) + 1}$	$

Donde $z_{0} \in C$ , $Ω_{0} \in R$ y $n \in N$ .

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata