7. TRANSFORMADA Z

# Importar librerias basicas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

%matplotlib inline
plt.style.use('bmh') # estilo de las graficas
from IPython.display import Latex # para visualizar ecuaciones en jupyter

Definición

la transformada $Z$ es una transformación que representa una señal discreta $x[k]$ en el dominio espectral. Se basa en la función exponencial compleja $z^{-k}$ con $z \in \mathbb{C}$ como señal base.

Transformada Bilateral Z

$$ \large X(z) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] , z^{-k} $$

Transformada Unilateral Z

Para señales causales tenemos: $$ \large \boxed{X(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} x[k] , z^{-k}} $$

Transformada Z inversa

$$ \large \boxed{x[k] = \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) , z^{k - 1} ; dz} $$

Región de Convergencia

La transformada Z converge si es absolutamente sumable

$$ \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] \cdot z^{- k} | = \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] | \cdot | z |^{- k} < \infty $$

Propiedades

	$x[k]$	$X(z) = \mathcal{Z} { x[k] }$	Region de convergencia (ROC)
Linealidad	$A , x_1[k] + B , x_2[k]$	$A , X_1(z) + B , X_2(z)$	$\supseteq \text{ROC}{x_1[k]} \cap \text{ROC}{x_2[k]}$
Conjugacion	$x^*[k]$	$X^(z^)$	$\text{ROC}{ x[k] }$
Señales Reales	$x[k] = x^*[k]$	$X(z) = X^(z^)$
Convolucion Lineal	$x[k] * h[k]$	$X(z) \cdot H(z)$	$\supseteq \text{ROC}{x[k]} \cap \text{ROC}{h[k]}$
Desplazamiento en el tiempo	$x[k - \kappa]$	$z^{- \kappa} \cdot X(z)$	$\supseteq \text{ROC}{x[k]} \setminus {0, \infty }$
Modulacion	$z_0^k \cdot x[k]$	$X\left( \frac{z}{z_0} \right)$	${z: \frac{z}{z_0} \in \text{ROC} { x[k] } }$
Inversion	$x[-k]$	$X \left( \frac{1}{z} \right)$	${z: \frac{1}{z} \in \text{ROC} { x[k] } }$

Donde $A, B, z_0 \in \mathbb{C}$ y $\kappa \in \mathbb{Z}$

Tabla de Transformadas Básicas

$x[k]$	$X(z) = \mathcal{Z} { x[k] }$	ROC
$\delta[k]$	$1$	$\mathbb{C}$
$\epsilon[k]$	$\frac{z}{z-1}$	$
$k \epsilon[k]$	$\frac{z}{(z-1)^2}$	$
$z_0^{k} \epsilon[k]$	$\frac{z}{z - z_0}$	$
$-z_0^{k} \epsilon[-k-1]$	$\frac{z}{z - z_0}$	$
$\sin(\Omega_0 k) \epsilon[k]$	$\frac{z \sin(\Omega_0)}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$	$
$\cos(\Omega_0 k) \epsilon[k]$	$\frac{z ( z - \cos(\Omega_0))}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$	$

Donde $z_0 \in \mathbb{C}$, $\Omega_0 \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$.

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata