6. TRANSFORMADA DE LAPLACE


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Definici贸n

La transformada de Laplace lleva el nombre de su descubridor Pierre-Simon Laplace. La Transformada de Laplace constituye una transformaci贸n integral con la funci贸n exponencial compleja $e ^ {s t}$ como funci贸n base donde $s$ se denomida la frecuencia compleja y $s = \sigma + j \omega$ con $\sigma, \omega \in \mathbb{R}$.

Las funciones exponenciales complejas constituyen funciones propias de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). La transformaci贸n de Laplace es, por lo tanto, de uso especial en el contexto de se帽ales y sistemas LTI.

Transformada Bilateral de Laplace

La Transformada de Laplace (TLP) de una se帽al $x(t)$ se define como: $$ \large X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)路e^{-st}dt, s\in\mathbb{C} $$

La Transformada de Laplace se aplica a se帽ales continuas (no a discretas) y se convierte en la Transformada de Fourier cuando hacemos $s=j\omega$.

En sistemas LTI, la TLP de h(t) es H(s) y se denomina funci贸n de transferencia del sistema.

Transformada Unilateral de Laplace

Las se帽ales causales son muy importantes en la teor铆a de sistemas y se帽ales. Para una se帽al causal $x(t) = 0$ para $t <0$, se mantiene la relaci贸n $x(t) = x(t) \cdot \mu(t)$. Introduciendo esto en la definici贸n de la transformada de Laplace bilateral, obtenemos:

$$ \large \boxed{X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) , e^{- s t} ; dt} $$

En la literatura, tanto la transformada de Laplace unilateral como la bilateral se denominan transformada de Laplace. Ambas dan el mismo resultado para las se帽ales causales.

Transformada inversa de Laplace

$$ \large \boxed{x(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s)路e^{st}dt} $$

Regi贸n de Convergencia

Todos los valores $s$ para los que converge la transformaci贸n de Laplace forman una Region de convergencia (ROC). Las transformadas de Laplace de dos se帽ales diferentes pueden diferir solo con respecto a sus ROC. En consecuencia, la ROC necesita ser dada expl铆citamente para una inversi贸n o transformada inversa 煤nica de la transformada de Laplace.

Diferentes se帽ales pueden tener la misma TLP (por ejemplo, $x_1(t) = e^{-\alpha t}路u(t), x_2(t) = -e^{-\alpha t}u(-t)$). Pero converge para distintas regiones del plano complejo s. A la regi贸n del plano s donde X(s) es convergente se le denomina Regi贸n de Convergencia (ROC).

La ROC se calcula analizando los polos (infinitos) de X(s) y tiene las siguientes caracter铆sticas:

  • Es un conjunto de bandas paralelas al eje $j\omega$.
  • Si la TLP es racional, la ROC no contiene ning煤n polo.
  • Si $x(t)$ es de duraci贸n finita y absolutamente integrable, la ROC de X(s) es todo el plano s.
  • Si $x(t)$ es derecha, la ROC es un semiplano derecho.
  • Si $x(t)$ es izquierda, la ROC es un semiplano izquierdo.

Ejemplos de Transformadas de Laplace

T. Laplace Impulso de Dirac

$$ \mathcal{L} { \delta(t) } = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) , e^{- s t} dt = e^{- s t} \Big\vert_{t=0} = 1 $$ para $s \in \mathbb{C}$. la ROC esta en todo el plano complejo.

t = sym.symbols('t', real=True)
s = sym.symbols('s', complex=True)

X = sym.integrate(sym.DiracDelta(t)*sym.exp(-s*t), (t, -sym.oo, sym.oo))
print(f'Transformada de Laplace con python del impulso de dirac = {X}')
Transformada de Laplace con python del impulso de dirac = 1

T. Laplace de la se帽al exponencial compleja causal

$$ x(t) = \mu(t) \cdot e^{-s_0 t} $$

con frecuencia compleja $s_0 \in \mathbb{C}$ se deriva de la evaluaci贸n de la definici贸n de la transformada de Laplace unilateral

$$ \begin{split} X(s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-s_0 t} \cdot e^{-s t} ; dt = \frac{-e^{-(s+s_0)t}}{s+s_0} , \bigg\vert_{0}^{\infty} = \frac{-1}{s+s_0} \left[ \lim_{t \to \infty} \left( e^{- (s+s_0) t} \right) -1 \right] \ &= \frac{1}{s + s_0} \end{split} $$

Como se puede concluir del caso l铆mite anterior, la transformaci贸n de Laplace converge solo para $\Re { s + s_0 } > 0$. Por lo tanto, el ROC se da como

$$ \Re { s } > \Re { - s_0 } $$

Combinando los hallazgos anteriores, la transformaci贸n de la se帽al exponencial compleja causal es

$$ \mathcal{L} { \epsilon(t) \cdot e^{-s_0 t} } = \frac{1}{s + s_0} \qquad \text{for } \Re { s } > \Re { - s_0 } $$

s0 = sym.symbols('s0', complex=True)

X, a, cond = sym.laplace_transform(sym.exp(-s0*t), t, s)
X, a, cond
print('Transformada de Laplace con python de una exponencial')
X
Transformada de Laplace con python de una exponencial

$\displaystyle \frac{1}{s + s_{0}}$

T. de Laplace funcion Paso

$$ \mathcal{L} { \mu(t) } = \frac{1}{s} \qquad \text{for } \Re { s } > 0 $$

T. de Laplace de Seno y Coseno

$$ \cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2} \left( e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t} \right) \ \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2j} \left( e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t} \right) $$

$$ \mathcal{L} { \mu(t) \cdot e^{-s_0 t} } = \frac{1}{s + s_0} \qquad \text{for } \Re { s } > \Re { - s_0 } $$

Utilizando la propiedad de linealidad $$ \mathcal{L} { \mu(t) \cdot \cos(\omega_0 t) } = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s - j \omega_0} + \frac{1}{s + j \omega_0} \right) = \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} \qquad \text{for } \Re { s } > 0 $$

$$ \mathcal{L} { \mu(t) \cdot \sin(\omega_0 t) } = \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{s - j \omega_0} - \frac{1}{s + j \omega_0} \right) = \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \qquad \text{for } \Re { s } > 0 $$

t, w0 = sym.symbols('t omega0', real=True)
s = sym.symbols('s', complex=True)

x = sym.sin(w0*t)
X, a, cond = sym.laplace_transform(x, t, s)
X, a, cond
print('Transformada de Laplace de sin(t)u(t) =')
X
Transformada de Laplace de sin(t)u(t) =

$\displaystyle \frac{\omega_{0}}{\omega_{0}^{2} + s^{2}}$

Propiedades

Linealidad

$$ \large \mathbb{L}{A路x_1(t) + B路x_2(t)} = A路X_1(s) + B路X_2(s) $$ y la ROC conteniendo R1鈭㏑2

Desplazamiento en el Tiempo

$$ \large \mathbb{L}{x(t-t_0)} = e^{-st_0}路X(s) $$ y ROC = R.

Desplazamiento en el Dominio de s:

$$ \large \mathbb{L}{e^{s_0路t}x(t)} = X(s-s_0) $$ y ROC = R + $\mathbb{Re}{s_0}$.

Escalamiento en el Tiempo:

$$ \large \mathbb{L}{x(a路t)} = \frac{1}{|a|}路X \left(\frac{s}{a}\right) $$ y ROC = R/a.

Conjugaci贸n:

$$ \large \mathbb{L}{x^(t)} = X^(s^*) $$ y ROC = R.

Convoluci贸n:

$$ \large \mathbb{L}{x(t)*h(t)} = X(s)路H(s) $$ y la ROC conteniendo Rx鈭㏑h.

Diferenciaci贸n en el Tiempo

$$ \large \mathbb{L}{\frac{dx(t)}{dt}} = s路X(s) $$ y la ROC conteniendo a R.

Diferenciaci贸n en Dominio de s:

$$ \large \mathbb{L}{-t路x(t)} = \frac{dX(s)}{ds} $$ y la ROC = R.

Tabla de Transformadas B谩sicas

Se帽al en el dominio del tiempo Transformada de Laplace Region de Convergencia (ROC)
$\delta(t)$ 1 Todo s
$u(t)$ $\frac{1}{s}$ $\mathbb{Re}{s} \gt 0$
$-u(-t)$ $\frac{1}{s}$ $\mathbb{Re}{s} \lt 0$
$e^{-at}路u(t)$ $\frac{1}{s+a}$ $\mathbb{Re}{s} \gt -a$
$-e^{-at}路u(-t)$ $\frac{1}{s+a}$ $\mathbb{Re}{s} \lt -a$
$sen(at)路u(t)$ $\frac{a}{s+a^2}$ Todo s
$cos(at)路u(t)$ $\frac{s}{s+a^2}$ Todo s
$e^{-at}路sen(wt)路u(t)$ $\frac{w}{(s+a)^2+w^2}$ Todo s
$e^{-at}路cos(wt)路u(t)$ $\frac{s+a}{(s+a)^2+w^2}$ Todo s
$t^n路e^{-at}, n \in \mathbb{N}$ $\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$ $\mathbb{Re}{s} \gt -a$

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata