6. TRANSFORMADA DE LAPLACE

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Definición

La transformada de Laplace lleva el nombre de su descubridor Pierre-Simon Laplace. La Transformada de Laplace constituye una transformación integral con la función exponencial compleja $e ^ {s t}$ como función base donde $s$ se denomida la frecuencia compleja y $s = \sigma + j \omega$ con $\sigma, \omega \in \mathbb{R}$.

Las funciones exponenciales complejas constituyen funciones propias de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). La transformación de Laplace es, por lo tanto, de uso especial en el contexto de señales y sistemas LTI.

Transformada Bilateral de Laplace

La Transformada de Laplace (TLP) de una señal $x(t)$ se define como: $$ \large X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)·e^{-st}dt, s\in\mathbb{C} $$

La Transformada de Laplace se aplica a señales continuas (no a discretas) y se convierte en la Transformada de Fourier cuando hacemos $s=j\omega$.

En sistemas LTI, la TLP de h(t) es H(s) y se denomina función de transferencia del sistema.

Transformada Unilateral de Laplace

Las señales causales son muy importantes en la teoría de sistemas y señales. Para una señal causal $x(t) = 0$ para $t <0$, se mantiene la relación $x(t) = x(t) \cdot \mu(t)$. Introduciendo esto en la definición de la transformada de Laplace bilateral, obtenemos:

$$ \large \boxed{X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) , e^{- s t} ; dt} $$

En la literatura, tanto la transformada de Laplace unilateral como la bilateral se denominan transformada de Laplace. Ambas dan el mismo resultado para las señales causales.

Transformada inversa de Laplace

$$ \large \boxed{x(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s)·e^{st}dt} $$

Región de Convergencia

Todos los valores $s$ para los que converge la transformación de Laplace forman una Region de convergencia (ROC). Las transformadas de Laplace de dos señales diferentes pueden diferir solo con respecto a sus ROC. En consecuencia, la ROC necesita ser dada explícitamente para una inversión o transformada inversa única de la transformada de Laplace.

Diferentes señales pueden tener la misma TLP (por ejemplo, $x_1(t) = e^{-\alpha t}·u(t), x_2(t) = -e^{-\alpha t}u(-t)$). Pero converge para distintas regiones del plano complejo s. A la región del plano s donde X(s) es convergente se le denomina Región de Convergencia (ROC).

La ROC se calcula analizando los polos (infinitos) de X(s) y tiene las siguientes características:

Es un conjunto de bandas paralelas al eje $j\omega$.
Si la TLP es racional, la ROC no contiene ningún polo.
Si $x(t)$ es de duración finita y absolutamente integrable, la ROC de X(s) es todo el plano s.
Si $x(t)$ es derecha, la ROC es un semiplano derecho.
Si $x(t)$ es izquierda, la ROC es un semiplano izquierdo.

Ejemplos de Transformadas de Laplace

T. Laplace Impulso de Dirac

$$ \mathcal{L} { \delta(t) } = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) , e^{- s t} dt = e^{- s t} \Big\vert_{t=0} = 1 $$ para $s \in \mathbb{C}$. la ROC esta en todo el plano complejo.

t = sym.symbols('t', real=True)
s = sym.symbols('s', complex=True)

X = sym.integrate(sym.DiracDelta(t)*sym.exp(-s*t), (t, -sym.oo, sym.oo))
print(f'Transformada de Laplace con python del impulso de dirac = {X}')

Transformada de Laplace con python del impulso de dirac = 1

T. Laplace de la señal exponencial compleja causal

$$ x(t) = \mu(t) \cdot e^{-s_0 t} $$

con frecuencia compleja $s_0 \in \mathbb{C}$ se deriva de la evaluación de la definición de la transformada de Laplace unilateral

$$ \begin{split} X(s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-s_0 t} \cdot e^{-s t} ; dt = \frac{-e^{-(s+s_0)t}}{s+s_0} , \bigg\vert_{0}^{\infty} = \frac{-1}{s+s_0} \left[ \lim_{t \to \infty} \left( e^{- (s+s_0) t} \right) -1 \right] \ &= \frac{1}{s + s_0} \end{split} $$

Como se puede concluir del caso límite anterior, la transformación de Laplace converge solo para $\Re { s + s_0 } > 0$. Por lo tanto, el ROC se da como

$$ \Re { s } > \Re { - s_0 } $$

Combinando los hallazgos anteriores, la transformación de la señal exponencial compleja causal es

$$ \mathcal{L} { \epsilon(t) \cdot e^{-s_0 t} } = \frac{1}{s + s_0} \qquad \text{for } \Re { s } > \Re { - s_0 } $$

s0 = sym.symbols('s0', complex=True)

X, a, cond = sym.laplace_transform(sym.exp(-s0*t), t, s)
X, a, cond
print('Transformada de Laplace con python de una exponencial')
X

Transformada de Laplace con python de una exponencial

$\displaystyle \frac{1}{s + s_{0}}$

T. de Laplace funcion Paso

$$ \mathcal{L} { \mu(t) } = \frac{1}{s} \qquad \text{for } \Re { s } > 0 $$

T. de Laplace de Seno y Coseno

$$ \cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2} \left( e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t} \right) \ \sin(\omega_0 t) = \frac{1}{2j} \left( e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t} \right) $$

$$ \mathcal{L} { \mu(t) \cdot e^{-s_0 t} } = \frac{1}{s + s_0} \qquad \text{for } \Re { s } > \Re { - s_0 } $$

Utilizando la propiedad de linealidad $$ \mathcal{L} { \mu(t) \cdot \cos(\omega_0 t) } = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s - j \omega_0} + \frac{1}{s + j \omega_0} \right) = \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} \qquad \text{for } \Re { s } > 0 $$

$$ \mathcal{L} { \mu(t) \cdot \sin(\omega_0 t) } = \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{s - j \omega_0} - \frac{1}{s + j \omega_0} \right) = \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \qquad \text{for } \Re { s } > 0 $$

t, w0 = sym.symbols('t omega0', real=True)
s = sym.symbols('s', complex=True)

x = sym.sin(w0*t)
X, a, cond = sym.laplace_transform(x, t, s)
X, a, cond
print('Transformada de Laplace de sin(t)u(t) =')
X

Transformada de Laplace de sin(t)u(t) =

$\displaystyle \frac{\omega_{0}}{\omega_{0}^{2} + s^{2}}$

Propiedades

Linealidad

$$ \large \mathbb{L}{A·x_1(t) + B·x_2(t)} = A·X_1(s) + B·X_2(s) $$ y la ROC conteniendo R₁∩R₂

Desplazamiento en el Tiempo

$$ \large \mathbb{L}{x(t-t_0)} = e^{-st_0}·X(s) $$ y ROC = R.

Desplazamiento en el Dominio de s:

$$ \large \mathbb{L}{e^{s_0·t}x(t)} = X(s-s_0) $$ y ROC = R + $\mathbb{Re}{s_0}$.

Escalamiento en el Tiempo:

$$ \large \mathbb{L}{x(a·t)} = \frac{1}{|a|}·X \left(\frac{s}{a}\right) $$ y ROC = R/a.

Conjugación:

$$ \large \mathbb{L}{x^(t)} = X^(s^*) $$ y ROC = R.

Convolución:

$$ \large \mathbb{L}{x(t)*h(t)} = X(s)·H(s) $$ y la ROC conteniendo R_x∩R_h.

Diferenciación en el Tiempo

$$ \large \mathbb{L}{\frac{dx(t)}{dt}} = s·X(s) $$ y la ROC conteniendo a R.

Diferenciación en Dominio de s:

$$ \large \mathbb{L}{-t·x(t)} = \frac{dX(s)}{ds} $$ y la ROC = R.

Tabla de Transformadas Básicas

Señal en el dominio del tiempo	Transformada de Laplace	Region de Convergencia (ROC)
$\delta(t)$	1	Todo s
$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\mathbb{Re}{s} \gt 0$
$-u(-t)$	$\frac{1}{s}$	$\mathbb{Re}{s} \lt 0$
$e^{-at}·u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\mathbb{Re}{s} \gt -a$
$-e^{-at}·u(-t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\mathbb{Re}{s} \lt -a$
$sen(at)·u(t)$	$\frac{a}{s+a^2}$	Todo s
$cos(at)·u(t)$	$\frac{s}{s+a^2}$	Todo s
$e^{-at}·sen(wt)·u(t)$	$\frac{w}{(s+a)^2+w^2}$	Todo s
$e^{-at}·cos(wt)·u(t)$	$\frac{s+a}{(s+a)^2+w^2}$	Todo s
$t^n·e^{-at}, n \in \mathbb{N}$	$\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$	$\mathbb{Re}{s} \gt -a$

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata