2. SISTEMAS (Caracteristicas y Propiedades)


Los sistemas se usan para procesar una se帽al con el objetivo de modificarla, por ejemplo sumar o restar informacion adicional.

Un sistema puede considerarse como un proceso en el cual las se帽ales de entrada son transformadas o modificadas y se obtienen nuevas se帽ales a la salida del sistema.

Representaci贸n de sistemas

Un sistema para an谩lisis y dise帽o es una representaci贸n de un proceso f铆sico, que relaciona las se帽ales de entrada $x(t)$ y las se帽ales de salida $y(t)$ obtenidas como respuesta.

La representaci贸n puede ser de tipo matem谩tica o en diagramas de bloques con flechas. El sentido de las flechas indican la entrada o salida.

Los sistemas se pueden realizar por: 鈥 Componentes f铆sicos (hardware: componentes electr贸nicos) 鈥 Algoritmos (software: calculan la nueva se帽al a partir de la entrada)

Sistemas Cont铆nuos

En un sistema cont铆nuo las se帽ales cont铆nuas de entrada son transformadas en se帽ales cont铆nuas de salida.

$$\large x(t) \rightarrow y(t)$$

Sistema continuo

Ejemplo: Un sistema de transmision A.M o transmision F.M

Sistemas Discretos

Cuando las entradas de tiempo discreto se transforman en en salidas de tiempo discreto, al sistema se denomina 芦sistema discreto禄.

$$\large x[n] \rightarrow y[n]$$

Sistema discreto

Ejemplo: Sistema de transmision de datos de una computadora

Entradas y salidas de un sistema

Los sistemas pueden tener.

鈥 Una entrada y una salida (SISO 鈥 Single Input, Single output) 鈥 Varias entradas, varias salidas (MIMO 鈥 Multiple Input, Multiple output)

Un sistema puede estar compuesto de subsistemas interconectados, caracterizados por sus terminales de entrada y salida.

Interconexion de Sistemas

Los sistemas pueden crearse a partir de subsistemas m谩s sencillos. La interconexion entre los sistemas permite resolver problemas de mayor complejidad.

La interconexi贸n de dos sistemas puede ser realizada de tres maneras:

  1. Interconexi贸n en serie (cascada)
  2. Interconexi贸n en paralelo
  3. Interconexi贸n en serie-paralelo
  4. Interconexi贸n con retroalimentaci贸n.

Para ilustrar las formas de interconexi贸n de forma gr谩fica se usan los diagramas de bloques, al interconectar las salidas y entradas entre bloques.

Inteconexi贸n en serie

Conexion serie

Los subsistemas se conectan secuencialmente usando la salida a una entrada.

Ejemplo: la salida de video de la computadora hacia la entrada de video del proyector en el aula de clases, usada para proyectar el contenido del curso.

Inteconexi贸n en Paralelo

Conexion paralelo

La se帽al de entrada se aplica simultaneamente o en paralelo a dos los subsistemas, el s铆mbolo 鈥+鈥 expresa que el resultado es la suma de los resultados de los sistemas 1 y 2.

Ejemplo: un sistema de mezcla de sonido proveniente de varios microfonos e instrumentos musicales.

Interconexi贸n serie-paralelo

Conexion serie

Estos sistemas son una combinacion de sistemas en serie y paralelo, La mayoria de sistemas son del tipo serie-paralelo.

Interconexi贸n con retroalimentaci贸n

Conexion serie

Los sistemas retroalimentados permiten 芦regular禄 la salida 芦observando una parte de la misma.

Ejemplo: El sistema de control de potencia de transmision en un celular, El motor de un ascensor, etc.

Propiedades de los Sistemas

  1. Memoria
  2. Invertibilidad
  3. Estabilidad
  4. Causalidad
  5. Invarianza en el tiempo
  6. Linealidad

Memoria

Si la salida de un sistema depende solo del valor aplicado en la entrada actualmente, se dice que el sistema es sin memoria.

$$ \large y[n] = (x[n]^2- 4x[n] )^3 $$

Si el sistema depende de los valores anteriores de la entrada, se lo considera con memoria.

$$ \large y[n]= x[n-1] +2x[n-3]$$

Los sistemas sin memoria tambi茅n se conocen como instantaneos, que son un caso particular de los sistemas din谩micos (con memoria).

Un sistema cuya respuesta en $t$ est谩 determinada por los anteriores $T$ segundos, es decir el intervalo $(t鈥揟)$, se lo conoce como 芦sistema con memoria finita禄

Invertibilidad

Un sistema es invertible si entradas distintas producen salidas distintas.

Dada una salida, es posible deducir la entrada que la provoc贸.(Biyectiva).

Para un sistema invertible hay un sistema inverso que, conectado en cascada con aqu茅l, produce una salida igual a su entrada.

$$ \large y(t)= 2x(t) \rightarrow x(t) = \frac{1}{2}y(t)$$

$$\large y(t)= x(t)^2$$

Estabilidad

Un sistema es estable si para una entrada de valor limitado la salida tambi茅n es limitada y no diverge. En otras palabras, si el sistema tiene como entrada un valor finito la salida debe ser finita para que exista estabilidad, los sistemas inestables tienen una entrada finita y su salida se vuelve muy grande tendiendo a infinito.

Causalidad

Un sistema es CAUSAL (no-anticipativo o f铆sico) si la salida $y(t)$ en un valor arbitrario de tiempo $t=t_0$ depende solo de la entrada $x(t)$ para $t 鈮 t_0$ , es decir depende solo de los valores presentes y/o pasados de la entrada; no depende de valores futuros.

No es posible obtener una salida antes que se aplique la entrada.

$$ \large y(t) = x(t - 1)$$

si $t$ es en segundos, la salida depende de los valores de $x$ hace un segundo o $(t-1)$

En el caso contrario, los sistemas NO CAUSALES muestran una salida anticipada a la se帽al de entrada:

$$\large y(t) = x(t + 1)$$

si $t$ es en segundos, la salida depende de los valores que $x$ tendr铆a un segundo despu茅s o $(t+1)$. Si $t$ es en d铆as, la situaci贸n se vuelve complicada de realizar, es como decir: para determinar el valor de la variable $y(t)$ HOY, necesitamos conocer el valor de $x(t+1)$ que es MA脩ANA.

Los sistemas no-casuales por tener variable independiente referenciada a tiempo futuro, no se pueden implementar en tiempo real. Sin embargo si los sistemas no causales se realizan con variables diferentes al tiempo, por ejemplo espacio se podr铆an implementar.

Invarianza en el tiempo

Si el comportamiento de un sistema y las caracter铆sticas del mismo est谩n fijos en el tiempo, se los llama invariantes en el tiempo.

Expresando lo mismo como: Un sistema es Invariante en el tiempo si aun corrimiento de tiempo en la se帽al de entrada ocasiona un corrimiento en el tiempo en la se帽al de salida.

$$ \large y(t) = x(t) \ y(t-t_0) = x(t-t_0)$$

Ejemplo (Oppenheim 1.14):

considere un sistema definido como:

$$\large y(t) = \sin(x(t)) \text{, siendo x(t)=t} $$ $$\large y(t-t_0) = \sin(x(t - t_0)) $$

# Importar librerias basicas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

%matplotlib inline
plt.style.use('bmh') # estilo de las graficas
from IPython.display import Latex # para visualizar ecuaciones en jupyter
# Sistemas 鈥 Invariantes en el tiempo
# Oppenheim 1.14
import numpy as np

# INGRESO
a = 0; b = 2*np.pi ; dt=0.1
t0 = 1

xt = lambda t: t
yt = lambda t: np.sin(xt(t))

# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(a,b,dt)

x1 = xt(t)
y1 = yt(t)


# Corrimiento en la entrada
t2x = t + t0
x2 = x1
# efecto en salida
t2y = t + t0
y2 = y1

# evaluaci贸n de tiempos desplazados
y3 = yt(t-t0)

# SALIDA - GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(t,y1, label='y1(t)')
plt.plot(t2y,y2, 'm.', label='y2(t)')
plt.plot(t,y3, label='y1(t-t0)')

plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.show()

png

Por otro lado, si la respuesta de la se帽al se modifica en el tiempo, el sistema ser谩 VARIANTE en el tiempo:

Ejemplo (Oppenheim 1.14):

Considere el sistema: $$\large y(t) = x(2t)$$

que tiene escalamiento en el tiempo. $y(t)$ es una versi贸n comprimida de $x(t)$. Los corrimientos/desplazamientos en el tiempo tambi茅n ser谩n comprimidos por un factor de 2, por lo que por 茅sta raz贸n el sistema no es invariante en el tiempo.

# Sistemas 鈥 Invariantes en el tiempo
# Oppenheim 1.16 p52/pdf80
import numpy as np

# INGRESO
a = -5; b = 5 ; dt=0.1
t0 = 2

u = lambda t: np.piecewise(t,t>=0,[1,0])
xt = lambda t: u(t+2)-u(t-2)
yt = lambda t: xt(2*t)

# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(a,b,dt)

x1 = xt(t)
y1 = yt(t)

# Corrimiento en la entrada
t2x = t + t0
x2 = x1
# efecto compresor en salida
t2y = t + t0/2
y2 = y1

# evaluaci贸n de tiempos desplazados
x3 = xt(t-t0)
y3 = yt(t-t0)

# SALIDA - GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.subplot(311)
plt.xlim([min(t),max(t)])
plt.plot(t,x1, label='x1(t)')
plt.plot(t,y1, label='y1(t)')
plt.legend()

plt.subplot(312)
plt.xlim([min(t),max(t)])
plt.plot(t2x,x2, label='x2(t)=x1(t-t0)')
plt.plot(t2y,y2, label='y2(t)')
plt.legend()

plt.subplot(313)
plt.xlim([min(t),max(t)])
plt.plot(t,y3,color ='orange', label='y1(t-t0)')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.show()

png

El sistema tiene una relaci贸n de entrada-salida dada por:

$\large y(t) = x(2t)$ y $\large t_0$ es un desplazamiento en el tiempo.

Sea $\large y_2(t)$ la respuesta a $\large x_2(t) = x(t-t_0)$ entonces:

$\large y_2(t) = x_2(2t) = x(2t-t_0)$

$\large y(t-t_0) = x(2(t-t_0))$

$\large y(t-t0) \neq y_2(t)$, por lo que el sistema no es invariante en el tiempo. El sistema $\large x(2t)$ se conoce como compresor, pues crea una secuencia de salida cada 2 valores de la secuencia de entrada.

Linealidad

Un sistema es lineal si satisface el principio de superposici贸n, que engloba las propiedades de escalado (homogeneidad) y aditividad.

En un sistema lineal tiene salida proporcional a su entrada y si la entrada es cero la salida debe ser cero.

Un sistema lineal tiene la propiedad de aditividad, es decir, la respuesta a una suma de se帽ales en la entrada es igual a la suma de las entradas individuales.

  1. La respuesta a: $\large x_1(t) + x_2(t) = y_1(t) + y_2(t)$
  2. La respuesta a: $\large \alpha x1(t)$ es $\large \alpha y1(t)$, donde $\large \alpha$ es una constante real o compleja cualquiera.

El numeral 2 se conoce como la propiedad de escalamiento u homogeneidad.

La propiedad de Superposici贸n se plantea como una combinaci贸n de las propiedades anteriores, osea que cumpla Aditividad y Homogeneidad:

en tiempo cont铆nuo: $$\large \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) 鈫 \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$$ en tiempo discreto:
$$\large \alpha x_1[n] + \beta x_2[n] 鈫 \alpha y_1[n] + \beta y_2[n]$$

cantantes

En el curso nos enfocaremos principalmente en los sistemas Lineales e invariantes en el tiempo, que son llamados Sistemas LTI (Linear Time Invariance)

REFERENCIAS

Phd. Jose R. Zapata