Señales Periodicas
Las señales periodicas continuas $x(t)$ cumplen la caracteristica que existe un valor $T$ tal que: \begin{equation} \large x(t) = x(t+T) :::::: \forall t \in \mathbb{R}. \end{equation}
Propiedad: No cambia para un corrimiento del tiempo $T$
Señal continua
Si $x(t)$ es continua entonces: \begin{equation} \large x(t) = x(t+m \cdot T) :::::: \forall m \in \mathbb{Z} \end{equation}
El valor de T es conocido como el periodo de la señal.
La relación entre el periodo T y la frecuencia f se da por la ecuación:
\begin{equation} \large f = \frac{1}{T}[=]\frac{1}{seg}\text{Hz} \end{equation}
\begin{equation} \large\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} [=]\text{rad/seg} \end{equation}
El periodo fundamental $To$ de $x(t)$ es el valor mas pequeño para el cual se cumple la ecuación anterior.
Si $x(t) = kte$ entonces $T = Indefinido$
# importar librerias de python
import sympy as sym # Libreria de operaciones matematicass simbolicas
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('bmh') # estilo de las graficas
%matplotlib inline
#sym.init_printing()
from IPython.display import Latex # para visualizar ecuaciones en jupyter
# definición de t como variable simbolica
t, omega = sym.symbols('t omega', real=True)
# función en forma de triangulo
coseno = sym.cos(omega*t)
display(Latex(r'$\large x(t) = cos(2 \cdot t )$'))
# Grafica de la función creada
sym.plot(coseno.subs(omega, 2), (t, -2, 9),
ylim=[-1.2, 1.2], ylabel=r'$x(t)$', legend=True);
$\large x(t) = cos(2 \cdot t )$
Pregunta: Si $w=2$ cuanto es el valor de la frecuencia en Hz?
Señal discreta
Si $x[n]$ es discreta entonces: \begin{equation} \large x[n] = x[n+N] :::::: \forall n \in \mathbb{Z} \end{equation}
EL periodo fundamental $No$ es el valor mas pequeño
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(12, 5))
# ingreso de parámetros
N = 8
m = 3
t0 = 0
# Procedimiento
tn = m*N
w = 2*np.pi/N
n = np.arange(t0, tn, 1)
xn = np.cos(w*n)
# Salida
plt.stem(n, xn, use_line_collection=True)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('x[n]')
plt.title('$x[n] = Cos[w \cdot n]$ con $N = 8$')
plt.xticks(np.arange(min(n), max(n)+1, 1.0))
plt.show()
Señales No Periodicas
En éste caso, los valores de la señal no se repiten para ningun valor de $T$.
También para algunos problemas se considera que $T\rightarrow \infty $.
Señal Continua
Un ejemplo del tipo de señal es: $x(t)=t^2$
# Grafica de la función creada
t2 = t*t
display(Latex(r'$\large x(t) = t² $'))
sym.plot(t2, (t, 0, 3), ylabel=r'$x(t)$', legend=True);
$\large x(t) = t² $
Señal Discreta
yn = n**2
# SALIDA - Gráfica
plt.stem(n, yn, use_line_collection=True)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('y[n]')
plt.title('$y[n]=n^2$')
plt.show()
Ejercicios
Realice las graficas de las siguientes funciones contínuas:
- $\large t^3$
- $\large e^t$
- $\large \frac{1}{t}$
y sus versiones discretas
- $\large n^3$
- $\large e^n$
- $\large \frac{1}{n}$
REFERENCIAS
Oppenheim Seccion 1.2.2
Phd. Jose R. Zapata