Modificacion basicas de la variable independiente, generalemente el tiempo. Permiten introducir varias propiedades basicas de los sistemas y señales
# importar librerias de python
import sympy as sym # Libreria de operaciones matematicass simbolicas
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('bmh') # estilo de las graficas
%matplotlib inline
from IPython.display import Latex # para visualizar ecuaciones en jupyter
#sym.init_printing()
definición de la función a graficar que se usara como ejemplo
#definición de t como variable simbolica
t = sym.symbols('t', real=True)
# función en forma de triangulo
trian = t*sym.Heaviside(t) - t*sym.Heaviside(t - 1)
# Grafica de la función creada
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
x(t) =

Corrimiento del tiempo ( Temporal Shift)
Una señal
Una señal desplazada en el tiempo
- Desplazada a La derecha (retrazada) para
- Señal continua
- Señal discreta
- Señal continua
Ejemplo: Sonares, señales de sismos, radares, señales de varios sensores en diferentes posiciones
# Correr la función 1 segundo
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
print('x(t-1) = ')
x = trian.subs(t, t-1)
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t-1)$', line_color='red');
x(t) =

x(t-1) =

- Desplazada a La izquierda (adelantada) si
- Señal continua
- Señal discreta
- Señal continua
# Correr la función 1 segundo
x = trian.subs(t, t+2)
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
print('x(t+1) = ')
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t+2)$', line_color='red');
x(t) =

x(t+1) =

Inversion en el Tiempo (Temporal Flipping)
La inversion en el tiempo de una señal
# invertir la función en el tiempo
#Grafica Original
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
# Inversion
x = trian.subs(t, -t)
# Grafica de la función modificada
print('x(-t) = ')
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(-t)$', line_color='red');
x(t) =

x(-t) =

Escalamiento en el tiempo (Temporal Scaling)
La compresión o expansión de la señal en el tiempo es conocida como escalamiento en el tiempo.
El escalamiento temporal de la señal
con
- Estirada o expandida para
- Comprimida para
- Invertida en el tiempo y escalda para
Una aplicacaion del escalamiento temporal en procesamiento de señales en la adaptacion de la escala de tiempo para el modelamiento del efecto Doppler.
# Escalamiento temporal por un numero menor que 1
#Grafica Original
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
# Escalamiento por 0.5
a = .5
x = trian.subs(t, a*t)
display(Latex(r'$\large x \left (\frac{1}{2} t \right)$'))
# Grafica de la función modificada
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(1/2*t)$', line_color='red');
x(t) =


# Escalamiento temporal por un numero mayor que 1
#Grafica Original
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$', title = 'x(t)');
# Escalamiento por 0.5
a = 2
x = trian.subs(t, a*t)
# Grafica de la función modificada
display(Latex(r'$\large x \left ( 2 t \right)$'))
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(2*t)$', line_color='red');
x(t) =


Transformacion General
El efecto de transformar la variable independiente de una señal
Con la transformación, la variable independiente conserva la forma de x(t). La señal puede ser:
- Alargada linealmente cuando
, - Comprimida si
, - Invertida en el tiempo si
, y - Desplazada en el tiempo si
es diferente de cero.- siendo desplazada a la derecha si se resta el valor de
- siendo desplazada a la izquierda si se suma el valor de
- siendo desplazada a la derecha si se resta el valor de
Nota: Primero se hace el desplazamiento y luego se escala
# Transformaciones Generales
#Grafica Original
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
# Escalamiento por 0.5
a = .5
# Desplazamiento de -1
x = trian.subs(t, a*t+1)
# Grafica de la función modificada
display(Latex(r'$\large x \left (\frac{1}{2} t +1\right)$'))
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(1/2*t+1)$', line_color='red');
x(t) =


# Transformaciones Generales
#Grafica Original
print('Otro Ejemplo = ')
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$');
# Escalamiento por -3
a = -3
# Desplazamiento de 2
x = trian.subs(t, a*t-2)
# Grafica de la función modificada
display(Latex(r'$\large x \left ( -3 t -2 \right)$'))
sym.plot(x,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(-3*t-2)$', line_color='red');
Otro Ejemplo =
x(t) =


Cambio de Amplitud de la señal
Estos cambios no se realizan en la variable independiente, si no que afectan la amplitud de la señal
#Grafica Original
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$')
# Multiplicar por dos la amplitud
print('2 x(t) = ')
sym.plot(2*trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$2*x(t)$');
x(t) =

2 x(t) =

#Grafica Original
print('x(t) = ')
sym.plot(trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$x(t)$')
# Multiplicar por dos la amplitud
print('-2 x(t) = ')
sym.plot(-2*trian,(t, -3, 3), ylabel=r'$-2*x(t)$');
x(t) =

-2 x(t) =

REFERENCIAS
- https://github.com/spatialaudio/signals-and-systems-lecture
- http://blog.espol.edu.ec/telg1001/senales-operaciones-en-tiempo/
Phd. Jose R. Zapata