9. FILTROS IDEALES


Sistemas ideales

Los sistemas idealizados son sistemas con propiedades idealizadas que t铆picamente hacen que su implementaci贸n pr谩ctica sea inviable. Desempe帽an un papel importante en varios campos del procesamiento de se帽ales, ya que permiten una formulaci贸n conveniente de los principales conceptos y principios. A continuaci贸n, se presenta el paso bajo ideal como prototipo para un sistema selectivo de frecuencia idealizado. Se pueden deducir otros sistemas selectivos de frecuencia directamente de este prototipo.

Pasa bajo ideal

La funci贸n de transferencia $ H (j\omega) $ de un valor real ideal low-pass dice

$$ \begin{equation} H(j \omega) = \text{rect} \left( \frac{\omega}{2 \omega_\text{c}} \right) \end{equation} $$

donde $ \omega_\text{c}> 0 $ denota su frecuencia de corte. El pasa bajo ideal elimina todos los componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de corte $ \omega_ \text {c} $, sin afectar las frecuencias m谩s bajas. La respuesta al impulso $h(t) = \mathcal{F}^{-1} { H(j \omega) }$ se calcula aplicando el duality principle a la Fourier transform of the rectangular signal

$$ \begin{equation} h(t) = \frac{\omega_\text{c}}{\pi} \cdot \text{sinc} ( \omega_\text{c} t ) \end{equation} $$

Dado que la respuesta al impulso es una se帽al acausal, el pasa bajo ideal es un acausal system. Adem谩s, la funci贸n sinc no es absolutamente integrable. Por lo tanto, el pasa bajo ideal no es un stable system en el sentido del criterio de entrada limitada de salida limitada (BIBO). En conclusi贸n, el pasa bajo ideal no es realizable. Solo se puede aproximar en sistemas pr谩cticos. Sin embargo, juega un papel importante en la teor铆a del muestreo y la interpolaci贸n.

Pasa bajos realizable

Se han desarrollado varias t茅cnicas para aproximar el pasa bajo ideal mediante un sistema realizable. Uno es el windowed sinc filter. Para hacer que el filtro de paso bajo ideal sea causal y estable, su respuesta de impulso se abre a un $ T $ de longitud finita seguido de un cambio temporal de $ \ frac {T} {2} $. Usando la rectanglar signal para truncar la respuesta al impulso, la respuesta al impulso del pasa bajo realizable se da como

$$ \begin{equation} h(t) = \frac{\omega_\text{c}}{\pi} \cdot \text{sinc} \left( \omega_\text{c} \left(t - \frac{T}{2} \right) \right) \cdot \text{rect}\left( \frac{1}{T} \left( t - \frac{T}{2} \right) \right) \end{equation} $$

La transformaci贸n de Fourier produce su funci贸n de transferencia

$$ \begin{equation} H(j \omega) = \frac{1}{2 \pi} e^{-j \omega \frac{T}{2}} \cdot \text{rect}\left( \frac{\omega}{2 \omega_c} \right) * T \cdot \text{sinc} \left( \frac{T}{2} \omega \right) \end{equation} $$

La respuesta al impulso se traza para $ w_ \text {c} = 10 $ y $ T = 5 $

import sympy as sym
%matplotlib inline
sym.init_printing()

t, w = sym.symbols('t omega', real=True)
wc = 10
T = 5

h = wc/sym.pi * sym.sinc(wc*(t-T/2))
sym.plot(h, (t, 0, T), xlabel='$t$', ylabel='$h(t)$');

png

La funci贸n de transferencia $ H (j \omega) $ del pasA bajo realizable se proporciona anteriormente en t茅rminos de una integral de convoluci贸n sobre la se帽al rectangular y sinc. Aplicando la definici贸n de la convoluci贸n y explotando las propiedades de los rendimientos de se帽al rectangular

$$ \begin{equation} H(j \omega) = \frac{T}{2 \pi} e^{-j \omega \frac{T}{2}} \int_{-\omega_\text{c}}^{\omega_\text{c}} \text{sinc} \left( \frac{T}{2} (\nu - \omega) \right) d \nu \end{equation} $$

No se conoce una soluci贸n cerrada de esta integral. Para obtener informaci贸n sobre las propiedades del pasA bajo realizable, la funci贸n de transferencia se aproxima mediante la integraci贸n num茅rica pOR frecuencias angulares igualmente espaciadas $ \omega $. Solo se eval煤an las frecuencias angulares positivas para reducir la complejidad computacional. Tenga en cuenta que se aplican las relaciones de simetr铆a de un sistema de valores reales

from numpy import linspace, array
import matplotlib.pyplot as plt

nu = sym.symbols('nu', real=True)
w = linspace(0, 1.5*wc, 100)

H = [(T/(2*sym.pi)).evalf(2) * sym.exp(-sym.I*wi*T/2).evalf(2) *
     sym.Integral(sym.sinc(T/2*(nu-wi)), (nu, -wc, wc)).evalf(2) for wi in w]

plt.plot(w, abs(array(H)))
plt.xlabel('$\omega$')
plt.ylabel('$|H(j \omega)|$')
plt.grid();

png

Ejercicio

  • Discuta las propiedades de la respuesta de magnitud $ | H (j \omega) | $ del pasa bajo realizable en dependencia de su longitud $ T $.

Pasa Bandas Ideal

La funci贸n de transferencia $ H (j \omega) $ de una pasa banda ideal con valor real es:

$$ \begin{equation} H(j \omega) = \begin{cases} 1 & \text{for } \omega_\text{c} - \frac{\Delta \omega}{2} < |\omega| < \omega_\text{c} + \frac{\Delta \omega}{2} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation} $$

El pasa banda ideal no afecta los componentes de frecuencia de una se帽al alrededor de una frecuencia central dada $ \omega_ \text {c} $ donde el ancho total de esta banda de transici贸n es $ \Delta \omega $. Los componentes fuera de la banda de transici贸n se eliminan. La funci贸n de transferencia puede reescribirse como

$$ \begin{equation} H(j \omega) = \text{rect} \left( \frac{\omega - \omega_\text{c}}{\Delta \omega} \right) + \text{rect} \left( \frac{\omega + \omega_\text{c}}{\Delta \omega} \right) = \text{rect} \left( \frac{\omega}{\Delta \omega} \right) * \left( \delta(\omega - \omega_\text{c}) + \delta(\omega + \omega_\text{c}) \right) \end{equation} $$

Su respuesta al impulso se calcula mediante la transformaci贸n inversa de Fourier.

$$ \begin{equation} h(t) = \pi \Delta \omega \cdot \text{sinc} ( \frac{\Delta \omega}{2} t ) \cdot \cos(\omega_\text{c} t) \end{equation} $$

El pasa banda ideal se puede interpretar como un filtro de pasa bajo modulado. Debido a su relaci贸n directa con el pasa bajo ideal, no es causal ni estable. El pasa banda ideal solo se puede aproximar en realizaciones pr谩cticas. Tiene un papel importante en los fundamentos te贸ricos de las comunicaciones inal谩mbricas.

Ejemplo

Por ejemplo, se traza la respuesta de impulso del pasa banda ideal para $ \omega_ \text {c} = 10 $ y $ \Delta \omega = 2 $

wc = 10
dw = 2

h = sym.pi*dw * sym.sinc(dw/2*t) * sym.cos(wc*t)
sym.plot(h, (t, -10, 10), xlabel='$t$', ylabel='$h(t)$');

png

Ejercicio

  • De la misma manera que para el pasa bajo, deriva la respuesta al impulso y la funci贸n de transferencia de un pasa banda realizable.

Pasa alto ideal

La funci贸n de transferencia $ H (j \omega) $ de un paso alto ideal con valor real dice:

$$ \begin{equation} H(j \omega) = 1 - \text{rect} \left( \frac{\omega}{2 \omega_\text{c}} \right) \end{equation} $$

donde $ \omega_ \text {c}> 0 $ denota su frecuencia de corte. El pasa alto ideal elimina todos los componentes de frecuencia por debajo de la frecuencia de corte $ \omega_ \text {c} $, sin afectar las frecuencias m谩s altas. Su respuesta al impulso puede derivarse de manera directa de la respuesta al impulso del pasa bajo ideal

$$ \begin{equation} h(t) = \delta(t) - \frac{\omega_\text{c}}{\pi} \cdot \text{sinc} ( \omega_\text{c} t ) \end{equation} $$

Debido a su relaci贸n con el pasa bajo ideal, el pasa alto ideal no es causal ni estable. El pase alto ideal solo se puede aproximar en realizaciones pr谩cticas.

Rechaza Banda Ideal

La funci贸n de transferencia $ H (j \omega) $ de una parada de banda ideal con valor real se deriva de la funci贸n de transferencia del pasa banda ideal de la misma manera que el pasa alto ideal. Se lee

$$ \begin{equation} H(j \omega) = 1 - \text{rect} \left( \frac{\omega - \omega_\text{c}}{\Delta \omega} \right) - \text{rect} \left( \frac{\omega + \omega_\text{c}}{\Delta \omega} \right) \end{equation} $$

La parada de banda ideal elimina los componentes de frecuencia de una se帽al alrededor de una frecuencia central dada $ \omega_ \text {c} $ donde el ancho total de esta banda de parada es $ \Delta \omega $. Los componentes fuera de la parada de banda no se ven afectados por el sistema. La respuesta al impulso de la parada de banda ideal se puede derivar de manera directa de la respuesta al impulso del pasa de banda ideal como :

$$ \begin{equation} h(t) = \delta(t) - \pi \Delta \omega \cdot \text{sinc} ( \frac{\Delta \omega}{2} t ) \cdot \cos(\omega_\text{c} t) \end{equation} $$

Debido a su relaci贸n con el pasa banda ideal, la parada de banda ideal no es causal ni estable. La parada de banda ideal solo se puede aproximar en realizaciones pr谩cticas. La parada de banda ideal se usa, por ejemplo, para eliminar componentes de se帽al no deseados. mains hum.

REFERENCIAS

  • Lecture Notes on Signals and Systems by Sascha Spors.