Sistemas ideales
Los sistemas idealizados son sistemas con propiedades idealizadas que típicamente hacen que su implementación práctica sea inviable. Desempeñan un papel importante en varios campos del procesamiento de señales, ya que permiten una formulación conveniente de los principales conceptos y principios. A continuación, se presenta el paso bajo ideal como prototipo para un sistema selectivo de frecuencia idealizado. Se pueden deducir otros sistemas selectivos de frecuencia directamente de este prototipo.
Pasa bajo ideal
La función de transferencia
donde
Dado que la respuesta al impulso es una señal causal, el pasa bajo ideal es un sistema causal. Además, la función sinc no es absolutamente integrable. Por lo tanto, el pasa bajo ideal no es un sistema estable en el sentido del criterio de entrada limitada de salida limitada (BIBO). En conclusión, el pasa bajo ideal no es realizable. Solo se puede aproximar en sistemas prácticos. Sin embargo, juega un papel importante en la teoría del muestreo y la interpolación.
Pasa bajos realizable
Se han desarrollado varias técnicas para aproximar el pasa bajo ideal mediante un sistema realizable. Uno es el windowed sinc filter. Para hacer que el filtro de paso bajo ideal sea causal y estable, su respuesta de impulso se abre a un
La transformación de Fourier produce su función de transferencia
La respuesta al impulso se traza para
import sympy as sym
%matplotlib inline
sym.init_printing()
t, w = sym.symbols('t omega', real=True)
wc = 10
T = 5
h = wc/sym.pi * sym.sinc(wc*(t-T/2))
sym.plot(h, (t, 0, T), xlabel='$t$', ylabel='$h(t)$');

La función de transferencia
No se conoce una solución cerrada de esta integral. Para obtener información sobre las propiedades del pasA bajo realizable, la función de transferencia se aproxima mediante la integración numérica pOR frecuencias angulares igualmente espaciadas
from numpy import linspace, array
import matplotlib.pyplot as plt
nu = sym.symbols('nu', real=True)
w = linspace(0, 1.5*wc, 100)
H = [(T/(2*sym.pi)).evalf(2) * sym.exp(-sym.I*wi*T/2).evalf(2) *
sym.Integral(sym.sinc(T/2*(nu-wi)), (nu, -wc, wc)).evalf(2) for wi in w]
plt.plot(w, abs(array(H)))
plt.xlabel('$\omega$')
plt.ylabel('$|H(j \omega)|$')
plt.grid();

Ejercicio
- Discuta las propiedades de la respuesta de magnitud
del pasa bajo realizable en dependencia de su longitud .
Pasa Bandas Ideal
La función de transferencia
El pasa banda ideal no afecta los componentes de frecuencia de una señal alrededor de una frecuencia central dada
Su respuesta al impulso se calcula mediante la transformación inversa de Fourier.
El pasa banda ideal se puede interpretar como un filtro de pasa bajo modulado. Debido a su relación directa con el pasa bajo ideal, no es causal ni estable. El pasa banda ideal solo se puede aproximar en realizaciones prácticas. Tiene un papel importante en los fundamentos teóricos de las comunicaciones inalámbricas.
Ejemplo
Por ejemplo, se traza la respuesta de impulso del pasa banda ideal para
wc = 10
dw = 2
h = sym.pi*dw * sym.sinc(dw/2*t) * sym.cos(wc*t)
sym.plot(h, (t, -10, 10), xlabel='$t$', ylabel='$h(t)$');

Ejercicio
- De la misma manera que para el pasa bajo, deriva la respuesta al impulso y la función de transferencia de un pasa banda realizable.
Pasa alto ideal
La función de transferencia
donde
Debido a su relación con el pasa bajo ideal, el pasa alto ideal no es causal ni estable. El pase alto ideal solo se puede aproximar en realizaciones prácticas.
Rechaza Banda Ideal
La función de transferencia
La parada de banda ideal elimina los componentes de frecuencia de una señal alrededor de una frecuencia central dada
Debido a su relación con el pasa banda ideal, la parada de banda ideal no es causal ni estable. La parada de banda ideal solo se puede aproximar en realizaciones prácticas. La parada de banda ideal se usa, por ejemplo, para eliminar componentes de señal no deseados. mains hum.
REFERENCIAS
- Lecture Notes on Signals and Systems by Sascha Spors.